已知{an}是递增的等差数列,a2,a4是方程x2-5x+6=0的根．求数列an/2n的前n项和.

Question

已知{an}是递增的等差数列,a2,a4是方程x2-5x +6=0的根．求数列an/2n的前n项和.

Answer 1

an/2^n=(n/2+1)/2^n=n/2^(n+1)+1/2^n
设数列{n/2^(n+1)}前n项和为Sn,数列{n/2^n}为Pn,数列{n/2^(n+1)+1/2^n}前n项和为Tn,
则Tn=Sn+Pn
Pn=1/2+1/2²+1/2³+.+1/2^n=1-(1/2)^n
Sn=1/2²+2/2³+3/2⁴+.+n/2^(n+1)
则2Sn=1/2+2/2²+3/2³+4/2⁴+.+n/2^n
上两式错项相减得
2Sn-Sn=1/2+1/2²+1/2³+1/2⁴+.+1/2^n-n/2^(n+1)
即Sn=1-(1/2)^n-n/2^(n+1)=1-(n+2)/2^(n+1)
于是Tn=Sn+Pn=1-(n+2)/2^(n+1)+1-(1/2)^n=2-(n+4)/2^(n+1)
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