一个四位数,它的第一位数字与第二位数字相同,第三位数字与第四位数字相同,恰巧是一个完全平方数,这个数是多少

Question

一个四位数,它的第一位数字与第二位数字相同,第三位数字与第四位数字相同,恰巧是一个完全平方数,这个数是多少

Answer 1

设这个数是AABB即1000A+100A+10B+B （1）
（1）除以11
100A+B
=110A+11B-10*（A+B）
=11（10A+B）-10（A+B） （2）
因为原四位数是完全平方数且能被11整除,所以上式一定能被11整除,即A+B能被11整除
A+B能被11整除,只能是11,把A+B=11代入（2）
=11（9A+11）-10*11
=11（9A+11-10）
=11（9A+1）
即AABB=11*11*（9A+1）
因为AABB是完全平方数,所以9A+1也是完全平方数
只有A=7,9A+1=64=8*8满足
所以A=7,B=4
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