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已知:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(1,0),B(3,0),C(0,-3).(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标;(2)如图①,点P是直线BC上方抛物线上一动点,过点P作y轴的平行线,交直线B

题目详情
已知:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(1,0),B(3,0),C(0,-3).
(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标;
(2)如图①,点P是直线BC上方抛物线上一动点,过点P作y轴的平行线,交直线BC于点E.是否存在一点P,使线段PE的长最大?若存在,求出PE长的最大值;若不存在,请说明理由;
(3)如图②,过点A作y轴的平行线,交直线BC于点F,连接DA、DB.四边形OAFC沿射线CB方向运动,速度为每秒1个单位长度,运动时间为t秒,当点C与点B重合时立即停止运动.设运动过程中四边形OAFC与四边形ADBF重叠部分面积为S,请求出S与t的函数关系式.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(1,0),B(3,0),C(0,-3).
9a+3b+c=0
a+b+c=0
c=−3

解得
a=−1
b=4
c=−3

∴抛物线的解析式:y=-x2+4x-3,
由y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1,
可知:顶点D的坐标(2,1).

(2)存在;
设直线BC的解析式为:y=kx+b,
3k+b=0
b=−3

解得
k=1
b=−3

∴直线BC的解析式为y=x-3,
设P(x,-x2+4x-3),则E(x,x-3),
∴PE=(-x2+4x-3)-(x-3)=-x2+3x=-(x-
3
2
2+
9
4

∴当x=
3
2
时,PF有最大值为
9
4

∴存在一点P,使线段PE的长最大,最大值为
9
4


(3)∵A(1,0)、B(3,0)、D(2,1)、C(0,-3),
∴可求得直线AD的解析式为:y=x-1;
直线BC的解析式为:y=x-3.
∴AD∥BC,且与x轴正半轴夹角均为45°.
∵AF∥y轴,
∴F(1,-2),
∴AF=2.
①当0≤t≤
2
时,如答图1-1所示.
此时四边形AFF′A′为平行四边形.

设A′F′与x轴交于点K,则AK=
2
2
AA′=
2
2
t.
∴S=S▱AFF′A′=AF•AK=2×
2
2
t=
2
t;
②当
2
<t≤2
2
时,如答图1-2所示.
设O′C′与AD交于点P,A′F′与BD交于点Q,
则四边形PC′F′A′为平行四边形,△A′DQ为等腰直角三角形.

∴S=S▱PC′F′A′-S△A′DQ=2×1-
1
2
(t-
2
2=-
1
2
t2+
2
t+1;
③当2
2
<t≤3
2
时,如答图1-3所示.
设O′C′与BD交于点Q,则△BC′Q为等腰直角三角形.

∵BC=3
2
,CC′=t,
∴BC′=3
2
-t.
∴S=S△BC′Q=
1
2
(3
2
-t)2=
1
2
t2-3
2
t+9.
综上所述,S与t的函数关系式为:
S=
2
t(0≤t≤
2
)
1
2
t2+
2
t+1(
2
<t≤2
2
)
1
2
t2−3
2
t+9(2
2
<t≤3
2
)