如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标是（8，6），正比例函数y=kx的图象交BC于点D，DE⊥OD，交AB于点E，连结OE．（1）求证：△OCD∽△DBE；（2）设CD=x，

Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标是（8，6），正比例函数y=kx的图象交BC于点D，DE⊥OD，交AB于点E，连结OE．
（1）求证：△OCD∽△DBE；
（2）设CD=x，梯形OCBE的面积为S，求S与x之间的函数关系式；
（3）若梯形OCBE的面积是32，求D点坐标；
（4）当△ODE∽△OCD时，求正比例函数的解析式．

Answer 1

（1）∵DE⊥OD，所以∠CDO+∠BDE=90°，
又∵∠CDO+∠COD=90°，
∴∠COD=∠BDE，
又∵四边形OABC是矩形，
∴∠OCD=∠DBE=90°，
在△OCD和△DBE中

∠COD＝∠BDE

∠OCD＝∠DBE

，
∴△OCD∽△DBE；

（2）∵CD=x，点B的坐标是（8，6），
∴BD=8-x，OC=6，
∵△OCD∽△DBE，
所以(OC)/(BD)＝(CD)/(BE)，即：(6)/(8−x)＝(x)/(BE)，所以BE=(−x2+8x)/(6)，
所以S=((BE+OC)•BC)/(2)＝((−x2+8x)/(6)+6)/(2)×8=−(2)/(3)x2+(16)/(3)x+24

（3）由梯形OCBE的面积是32，所以−(2)/(3)x2+(16)/(3)x+24＝32，解得：x₁=2，x₂=6，
∴D点的坐标为：（2，6），（6，6）

（4）当△ODE∽△OCD时，又∵△OCD∽△DBE，
∴△ODE∽△OCD∽△DBE，
∴∠COD=∠DOE，∠BED=∠DEO，过点D做DH⊥OE，垂足为H，
根据角平分线的性质所以DC=DH=DB，所以点D为BC的中点，所以D点的坐标为（4，6），
∴所求的一次函数解析式为y＝(3)/(2)x．