一道概率问题,从期望为μ,方差为σ2的总体中,分别抽取容量为n1和n2的两个独立样本,X和Y分别为样本均值,若μ的无偏估计aX+bY的方差最小,求a,b的值各是多少?

Question

一道概率问题,
从期望为μ,方差为σ2的总体中,分别抽取容量为n1和n2的两个独立样本,X和Y分别为样本均值,若μ的无偏估计aX+bY的方差最小,求a,b的值各是多少?

Answer 1

μ的无偏估计为aX+bY
则E(aX+bY)=μ
抽取的容量为n1和n2的两个独立样本.则EX=EY=μ
E(aX+bY)=aEX+bEY=μ
即：a+b=1
μ的无偏估计aX+bY的方差为：
D(aX+bY)=a^2DX+b^2DY=(a^2+b^2)σ2
因为a+b=1
则由重要不等式：
a^2+b^2>=(a+b)^2/2=1/2
则D(aX+bY)=(a^2+b^2)σ2=σ2/2
此时a=b=1/2.