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先自学下列材料,再解题.在不等式的研究中,有以下两个重要基本不等式:若a≥0,b≥0,则…①若a≥0,b≥0,c≥0,则…②不等式①、②反映了两个(或三个)非负数的算术平均数不小
题目详情
先自学下列材料,再解题.在不等式的研究中,有以下两个重要基本不等式:
若a≥0,b≥0,则 …①
若a≥0,b≥0,c≥0,则…②
不等式①、②反映了两个(或三个)非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数.这两个基本不等式在不等式证明中有着广泛的应用.现举例如下:
若ab>0,试证明不等式:.
证明:∵ab>0
∴
即.
现请你利用上述不等式①、②证明下列不等式:
(1)当ab≥0时,试证明:.
(2)当a、b为任意实数时,试证明:.
若a≥0,b≥0,则 …①
若a≥0,b≥0,c≥0,则…②
不等式①、②反映了两个(或三个)非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数.这两个基本不等式在不等式证明中有着广泛的应用.现举例如下:
若ab>0,试证明不等式:.
证明:∵ab>0
∴
即.
现请你利用上述不等式①、②证明下列不等式:
(1)当ab≥0时,试证明:.
(2)当a、b为任意实数时,试证明:.
▼优质解答
答案和解析
(1)根据已知得出=×=×[(a+b)2+ab+ab]即可利用例题得出答案;
(2)根据当ab≥0时与当ab<0时,利用例题分别得出例题形式即可证明.
【解析】
(1)∵ab≥0,
∴=×,
=×[(a+b)2+ab+ab]≥=,
(2)当ab≥0时,
=,
=≥,
=≥,
当ab<0时,
=,
=≥,
=.
(2)根据当ab≥0时与当ab<0时,利用例题分别得出例题形式即可证明.
【解析】
(1)∵ab≥0,
∴=×,
=×[(a+b)2+ab+ab]≥=,
(2)当ab≥0时,
=,
=≥,
=≥,
当ab<0时,
=,
=≥,
=.
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