设数列{an}的各项都是正数,且a1^3+a2^3+…+an^3=Sn^2,其中Sn是数列{an}的前n项和,求数列{an}的通项公式

Question

设数列{an}的各项都是正数,且a1^3+a2^3+…+an^3=Sn^2,其中Sn是数列{an}的前n项和,求数列{an}的通项公式

Answer 1

由于：a1^3+a2^3+…+an^3=Sn^2,
故：a1^3+a2^3+…+an-1^3=Sn-1^2,
二式做差：an^3=Sn^2-Sn-1^2=（Sn-Sn-1）（Sn+Sn-1）=an（Sn+Sn-1）
俩边除以an,
于是：an^2=Sn+Sn-1 =an+Sn-1+Sn-1=+2*Sn-1 （an+1 中n+1是下脚标）
an+1^2=an+1+2*Sn
再做差 an+1^2-an^2=an+1-an+2an=an+1+an；
an+1-an=1 是等差数列
题中a1^3+a2^3+…+an^3=Sn^2,n1时a1^3=a1^2,a1=1
故 an=n
完毕