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基本不等式的应用：已知x>0,y>0,z>0且x+y+z=1,求证:√x+√y+√z≤√3
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基本不等式的应用：已知x>0,y>0,z>0且x+y+z=1,求证:√x +√y+√z≤√3
▼优质解答
答案和解析
因为x+y+z=1,
所以X＋Y＝1－Z
2√XY≤1－Z
同理可得2√XZ≤1－Y,2√YZ≤1－X
﹙√x +√y+√z﹚²
＝X﹢Y﹢Z﹢2√XY﹢2√XZ﹢2√YZ≤1＋1－Y﹢1－X﹢1＝3
所以√x +√y+√z≤√3
所以X＋Y＝1－Z
2√XY≤1－Z
同理可得2√XZ≤1－Y,2√YZ≤1－X
﹙√x +√y+√z﹚²
＝X﹢Y﹢Z﹢2√XY﹢2√XZ﹢2√YZ≤1＋1－Y﹢1－X﹢1＝3
所以√x +√y+√z≤√3
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