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基本不等式的应用:已知x>0,y>0,z>0且x+y+z=1,求证:√x+√y+√z≤√3
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基本不等式的应用:已知x>0,y>0,z>0且x+y+z=1,求证:√x +√y+√z≤√3
▼优质解答
答案和解析
因为x+y+z=1,
所以X+Y=1-Z
2√XY≤1-Z
同理可得2√XZ≤1-Y,2√YZ≤1-X
﹙√x +√y+√z﹚²
=X﹢Y﹢Z﹢2√XY﹢2√XZ﹢2√YZ≤1+1-Y﹢1-X﹢1=3
所以√x +√y+√z≤√3
所以X+Y=1-Z
2√XY≤1-Z
同理可得2√XZ≤1-Y,2√YZ≤1-X
﹙√x +√y+√z﹚²
=X﹢Y﹢Z﹢2√XY﹢2√XZ﹢2√YZ≤1+1-Y﹢1-X﹢1=3
所以√x +√y+√z≤√3
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