哪位同学帮我总结一下高一数学必修4两角和与差的正弦,余弦公式,二倍角公式,辅助角公式

Question

哪位同学帮我总结一下高一数学必修4两角和与差的正弦,余弦公式,二倍角公式,辅助角公式

Answer 1

1,两角和差的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式：cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)
sin2α = 2sinαcosα cos2α = (cosα)^2 - (sinα)^2=2(cosα)^2 -1=1-2(sinα)^2
tan2α=2tanα/[1-(tanα)^2] 2,正弦二倍角公式：
　　sin2α = 2cosαsinα
　　推导：sin2A=sin(A+A)=sinAcosA+cosAsinA=2sinAcosA
　　拓展公式：sin2A=2sinAcosA=2tanAcosA^2=2tanA/[1+tanA^2]
余弦二倍角公式：
　　余弦二倍角公式有三组表示形式,三组形式等价：
　　1.Cos2a=Cosa^2-Sina^2=[1-tana^2]/[1+tana^2]
　　2.Cos2a=1-2Sina^2
　　3.Cos2a=2Cosa^2-1
　　推导：cos2A=cos(A+A)=cosAcosA-sinAsinA=(cosA)^2-(sinA)^2=2(cosA)^2-1
　　=1-2(sinA)^2
正切二倍角公式：
　　tan2α=2tanα/[1-(tanα)^2]
　　推导：tan2A=tan(A+A)=(tanA+tanA)/(1-tanAtanA)=2tanA/[1-(tanA)^2]
3,辅助角公式：对于acosx+bsinx型函数,我们可以如此变形acosx+bsinx=Sqrt(a^2+b^2)(acosx/Sqrt(a^2+b^2)+bsinx/Sqrt(a^2+b^2)),令点(b,a)为某一角φ终边上的点,则sinφ=a/Sqrt(a^2+b^2),cosφ=b/Sqrt(a^2+b^2)
　　∴acosx＋bsinx＝Sqrt(a^2+b^2)sin(x+arctan(a/b))
　　这就是辅助角公式.
　　设要证明的公式为acosA+bsinA=√(a^2+b^2)sin(A+M) (tanM=a/b)
　　以下是证明过程：
　　设acosA+bsinA=xsin(A+M)
　　∴acosA+bsinA=x((a/x)cosA+(b/x)sinA)
　　由题,（a/x)^2+(b/x)^2=1,sinM=a/x,cosM=b/x
　　∴x=√(a^2+b^2)
　　∴acosA+bsinA=√(a^2+b^2)sin(A+M) ,tanM=sinM/cosM=a/b