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(2010•四川)(Ⅰ)①证明两角和的余弦公式Cα+β:cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ;②由Cα+β推导两角和的正弦公式Sα+β:sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.(Ⅱ)已知△ABC的面积S=12,AB•AC=3
题目详情
(2010•四川)(Ⅰ)①证明两角和的余弦公式Cα+β:cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ;②由Cα+β推导两角和的正弦公式Sα+β:sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.
(Ⅱ)已知△ABC的面积S=
,
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=3,且cosB=
,求cosC.
(Ⅱ)已知△ABC的面积S=
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AB |
AC |
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▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)①如图,在直角坐标系xOy内做单位圆O,并作出角α、β与-β,使角α的始边为Ox,交⊙O于点P1,
终边交⊙O于P2;
角β的始边为OP2,终边交⊙O于P3;角-β的始边为OP1,终边交⊙O于P4.![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/bd315c6034a85edf6f6973924a540923dc54759e.jpg)
则P1(1,0),P2(cosα,sinα)
P3(cos(α+β),sin(α+β)),P4(cos(-β),sin(-β))
由P1P3=P2P4及两点间的距离公式,得
[cos(α+β)-1]2+sin2(α+β)=[cos(-β)-cosα]2+[sin(-β)-sinα]2
展开并整理得:2-2cos(α+β)=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ)
∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.(4分)
②由①易得cos(
-α)=sinα,sin(
-α)=cosα
sin(α+β)=cos[
-(α+β)]=cos[(
-α)+(-β)]
=cos(
-α)cos(-β)-sin(
-α)sin(-β)
=sinαcosβ+cosαsinβ(6分)
(Ⅱ)由题意,设△ABC的角B、C的对边分别为b、c
则S=
bcsinA=
•
=bccosA=3>0
∴A∈(0,
),cosA=3sinA
又sin2A+cos2A=1,∴sinA=
,cosA=
由题意,cosB=
,得sinB=
终边交⊙O于P2;
角β的始边为OP2,终边交⊙O于P3;角-β的始边为OP1,终边交⊙O于P4.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/bd315c6034a85edf6f6973924a540923dc54759e.jpg)
则P1(1,0),P2(cosα,sinα)
P3(cos(α+β),sin(α+β)),P4(cos(-β),sin(-β))
由P1P3=P2P4及两点间的距离公式,得
[cos(α+β)-1]2+sin2(α+β)=[cos(-β)-cosα]2+[sin(-β)-sinα]2
展开并整理得:2-2cos(α+β)=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ)
∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.(4分)
②由①易得cos(
π |
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π |
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sin(α+β)=cos[
π |
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=cos(
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=sinαcosβ+cosαsinβ(6分)
(Ⅱ)由题意,设△ABC的角B、C的对边分别为b、c
则S=
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AC |
∴A∈(0,
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又sin2A+cos2A=1,∴sinA=
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由题意,cosB=
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(Ⅱ)S=
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- 名师点评
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- 本题考点:
- 两角和与差的余弦函数;同角三角函数基本关系的运用;两角和与差的正弦函数.
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- 考点点评:
- 本小题主要考查两角和的正、余弦公式、诱导公式、同角三角函数间的关系等基础知识及运算能力.
![](https://img.zuoyebang.cc/zyb_d35156261bebc3e32b411f9b56032d77.jpg)
![](https://img.zuoyebang.cc/zyb_d35156261bebc3e32b411f9b56032d77.jpg)
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