（2010•四川）（Ⅰ）①证明两角和的余弦公式Cα+β：cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；②由Cα+β推导两角和的正弦公式Sα+β：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．（Ⅱ）已知△ABC的面积S＝12，AB•AC＝3

Question

（2010•四川）（Ⅰ）①证明两角和的余弦公式C_α+β：cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；②由C_α+β推导两角和的正弦公式S_α+β：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．
（Ⅱ）已知△ABC的面积S＝(1)/(2)，

AB

•

AC

＝3，且cosB＝(3)/(5)，求cosC．

Answer 1

（Ⅰ）①如图，在直角坐标系xOy内做单位圆O，并作出角α、β与-β，使角α的始边为Ox，交⊙O于点P₁，
终边交⊙O于P₂；
角β的始边为OP₂，终边交⊙O于P₃；角-β的始边为OP₁，终边交⊙O于P₄．
则P₁（1，0），P₂（cosα，sinα）
P₃（cos（α+β），sin（α+β）），P₄（cos（-β），sin（-β））
由P₁P₃=P₂P₄及两点间的距离公式，得
[cos（α+β）-1]²+sin²（α+β）=[cos（-β）-cosα]²+[sin（-β）-sinα]²
展开并整理得：2-2cos（α+β）=2-2（cosαcosβ-sinαsinβ）
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ．（4分）
②由①易得cos（(π)/(2)-α）=sinα，sin（(π)/(2)-α）=cosα
sin（α+β）=cos[(π)/(2)-（α+β）]=cos[（(π)/(2)-α）+（-β）]
=cos（(π)/(2)-α）cos（-β）-sin（(π)/(2)-α）sin（-β）
=sinαcosβ+cosαsinβ（6分）
（Ⅱ）由题意，设△ABC的角B、C的对边分别为b、c
则S=(1)/(2)bcsinA=(1)/(2)

AB

•

AC

=bccosA=3＞0
∴A∈（0，(π)/(2)），cosA=3sinA
又sin²A+cos²A=1，∴sinA=(√(10))/(10)，cosA=(3√(10))/(10)
由题意，cosB=(3)/(5)，得sinB=<

作业帮用户 2017-10-11

问题解析

（Ⅰ）①建立单位圆，在单位圆中作出角，找出相应的单位圆上的点的坐标，由两点间距离公式建立方程化简整理既得；②由诱导公式cos[

4

(π)/(2)-（α+β）]=sin（α+β）变形整理可得．
（Ⅱ）S＝(1)/(2)，

AB

•

AC

＝3，求出角A的正弦，再由cosB＝(3)/(5)，用cosC=-cos（A+B）求解即可．

名师点评

本题考点：

两角和与差的余弦函数；同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的正弦函数．

考点点评：

本小题主要考查两角和的正、余弦公式、诱导公式、同角三角函数间的关系等基础知识及运算能力．

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