（2014•西安二模）如图在单位圆中，（1）证明两角差的余弦公式Cα-β：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ；并由Cα-β推导两角差的正弦公式Sα-β：sin（α-β）．（2）计算：sin15°的值．

Question

（2014•西安二模）如图在单位圆中，
（1）证明两角差的余弦公式C_α-β：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ；并由C_α-β推导两角差的正弦公式S_α-β：sin（α-β）．
（2）计算：sin15°的值．

Answer 1

（1）如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心，
作一单位圆，再以原点为顶点，
x轴非负半轴为始边分别作角α，β．
设它们的终边分别交单位圆于点P₁（cosα，sinα），P₂（cosβ，sinβ），…（4分）
即有两单位向量

OP1

，

OP2

，
它们的所成角是|α-β|，
根据向量数量积的性质得：

OP1

•

OP2

=cos（α-β）=cos|α-β|①
又根据向量数量积的坐标运算得：

OP1

•

OP2

=cosαcosβ+sinαsinβ②
由①②得 cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ…（9分）
sin（α+β）=cos（(π)/(2)-α-β）=cos[（(π)/(2)-α）-β]…（11分）
=cos（(π)/(2)-α）cosβ+sin（(π)/(2)-α）sinβ…（13分）
=sinαcosβ+cosαsinβ，
即有sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ…（15分）
（2）sin15°=sin（45°-30°）=sin45°cos30°-cos45°sin30°=(√(2))/(2)×

√(作业帮用户2016-12-15问题解析（1）在平面直角坐标系中，以原点为圆心，作一单位圆，再以原点为顶点，x轴非负半轴为始边分别作角α，β．设它们的终边分别交单位圆于点P1（cosα，sinα），P2（cosβ，sinβ），即有两单位向量OP1，OP2，它们的所成角是|α-β|，根据向量数量积的性质能够证明cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ．先由诱导公式得sin（α+β）=cos（(π)/(2)-α-β）=cos[（(π)/(2)-α）-β]，展开可得cos（(π)/(2)-α）cosβ+sin（(π)/(2)-α）sinβ，然后利用和差公式和诱导公式能够得到sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．（2）直接利用公式求解表达式sin15°的值即可．名师点评本题考点：两角和与差的正弦函数；任意角的三角函数的定义．考点点评：本题考查平面向量的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，利用三角函数的性质合理地进行等价转化．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)