若a是第三象限角,且根号下1+sina=cosa/2+sina/2,则a/2是第几象限的角?

Question

若a是第三象限角,且根号下1+sina=cosa/2+sina/2,则a/2是第几象限的角?

Answer 1

第二象限
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1＋sina＝[sin(a/2)]^2＋[cos(a/2)]^2＋2sin(a/2)cos(a/2)＝[sin(a/2)＋cos(a/2)]^2,既然√(1+sina)＝cos(a/2)＋sin(a/2),所以cos(a/2)＋sin(a/2)≥0.
所以cos(a/2)＋sin(a/2)＝√2×[cos(a/2)cos(π/4)＋sin(a/2)sin(π/4)]＝√2cos(a/2-π/4)≥0.
a是第三象限角,所以2kπ＋π≤a≤2kπ＋3π/2,所以kπ＋π/4≤a/2-π/4≤kπ＋π/2.
k取偶数2m时,2mπ＋π/4≤a/2-π/4≤2mπ＋π/2,是第一象限角,满足cos(a/2-π/4)≥0,此时2mπ＋π/2≤a/2≤2mπ＋3π/4,是第二象限角.
k取奇数2m+1时,2mπ＋5π/4≤a/2-π/4≤2mπ＋3π/2,是第三象限角,不满足cos(a/2-π/4)≥0.
综上,a/2是第二象限角.