如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO为正方形，A点坐标为（0，2），点P为x轴负半轴上一动点，以AP为直角作等腰直角三角形APD，∠APD=90°（点D落在第四象限）（1）当点P的坐标为（-1，0

Question

如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO为正方形，A点坐标为（0，2），点P为x轴负半轴上一动点，以AP为直角作等腰直角三角形APD，∠APD=90°（点D落在第四象限）

（1）当点P的坐标为（-1，0）时，求点D的坐标；
（2）点P在移动的过程中，点D是否在直线y=x-2上？请说明理由；
（3）连接OB交AD于点G，求证：AG=DG．

Answer 1

（1）如图1中，作DH⊥OC于H．

∵四边形AOCB是正方形，A（0，2），P（-1，0），
∴∠AOP=∠PHD=∠APD=90°，OA=2，OP=1，
∵∠APO+∠DPH+90°，∠DPH+∠PDH=90°，
∴∠APO=∠PDH，
在△APO和△PDH中，

∠AOP=∠PHD

∠APO=∠PDH

PA=PD

，
∴△APO≌△PDH，
∴PH=OA=2，DH=OP=1，
∴OH=1，
∴D（1，-1）．

（2）如图2中，作射线CD，设AD交PC于G．

∵∠GCA=∠GDP=45°，∠AGC=∠PGD，
∴△AGC∽△PGD，
∴(AG)/(PG)=(CG)/(GD)，
∴(AG)/(CG)=(PG)/(GD)，∵∠AGP=∠CGD，
∴△AGP∽△CGD，
∴∠PAG=∠GCD=45°，
∴∠ACD=90°，
∴CD⊥AC，
∵直线AC的解析式为y=-x+2，
∴直线CD的解析式为y=x-2，
∴点D在直线CD上．

（3）如图3中，连接CG、AC、CD．

∵四边形OABC是正方形，
∴BA=BC，∠GBA=∠GBC，∵BG=BG，
∴△GBA≌△GBC，
∴GA=GC，
∴∠GAC=∠GCA，
∵∠ACD=90°，
∴∠GDC+∠GAC=90°，∠GCB+∠GCA=90°，
∴∠GDC=∠GCD，
∴GC=GD，
∴AG=GD．