设其次线性方程组：(1+a)x1+1x2+1x3+…+1xn=02x1+(2+a)x2+2x3+…+2xn=03x1+3x2+(3+a)x3+…+3xn=0…nx1+nx2+nx3+…+(n+a)xn=0问a取何值时,方程组有非零解,并求其通解.

Question

设其次线性方程组：
(1+a)x1+1x2+1x3+…+1xn=0
2x1+(2+a)x2+2x3+…+2xn=0
3x1+3x2+(3+a)x3+…+3xn=0
…
nx1+nx2+nx3+…+(n+a)xn=0
问a取何值时,方程组有非零解,并求其通解.

Answer 1

方程组有非零解当且仅当系数行列式=0.
系数行列式 =
1+a 1 1 ...1
2 2+a 2 ...2
3 3 3+a...3
......
n n n ...n+a
ri - ir1,i=2,3,...,n
1+a 1 1 ...1
-2a a 0 ...0
-3a 0 a ...0
......
-na 0 0 ...a
c1+ici,i=2,3,...,n
t 1 1 ...1
0 a 0 ...0
0 0 a ...0
......
0 0 0 ...a
其中 t = 1+a+2a+3a+...+na = 1 + n(n+1)a/2
所以系数行列式 = [1 + n(n+1)a/2]a^(n-1).
所以当 a=0 或 a= -2/[n(n+1)] 时方程组有非零解.
当a=0时,系数矩阵化为
1 1 1 ...1
0 0 0 ...0
0 0 0 ...0
......
0 0 0 ...0
方程组的解为 c1(-1,1,0,...,0)'+c2(-1,0,1,...,0)'+...+c(n-1)(-1,0,0,...,1)'
当a= -2/[n(n+1)]时,系数矩阵化为
0 1 1 ...1
0 1 0 ...0
0 0 1 ...0
......
0 0 0 ...1
第1行减所有行得
0 0 0 ...0
0 1 0 ...0
0 0 1 ...0
......
0 0 0 ...1
方程组的解为:c(1,0,0,...,0)'.
终于搞定了!