设线性方程组x1+λx2+μx3+x4＝02x1+x2+x3+2x4＝03x1+(2+λ)x2+(4+μ)x3+4x4＝1，已知（1，-1，1，-1）T是该方程组的一个解，试求：（Ⅰ）方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部

Question

设线性方程组

x1+λx2+μx3+x4＝0

2x1+x2+x3+2x4＝0

3x1+(2+λ)x2+(4+μ)x3+4x4＝1

，已知（1，-1，1，-1）^T是该方程组的一个解，试求：
（Ⅰ） 方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解；
（Ⅱ） 该方程组满足x₂=x₃的全部解．

Answer 1

（I）
∵（1，-1，1，-1）^T是该方程组的一个解，
∴代入到方程组的第一和第三个方程，得：

1−λ+μ−1＝0

3−(2+λ)+(4+μ)−4＝1

，
求得：λ=μ，
对已知线性方程组的增广矩阵做初等行变换，化作阶梯型矩阵如下：

.

A

＝

1	λ	λ	1	0
2	1	1	2	0
3	2+λ	4+λ	4	1

r2−2r1，r3−3r1

1	λ	λ	1	0
0	1−2λ	1−2λ	0	0
0	2−2λ	4−2λ	1	1

作业帮用户 2017-10-16

问题解析

（I）由（1，-1，1，-1）^T是该方程组的一个解，代入到方程组，可以得出λ和μ的关系；将方程组的做初等行变换，化成行阶梯形矩阵，再讨论方程组的解；
（II）由（I）的结论，将x₂=x₃代入求解即可．

名师点评

本题考点：

矩阵初等行变换和初始列变换；基础解系、通解及解空间的概念．

考点点评：

此题考查非齐次线性方程组解的判定（一般依据系数矩阵的秩和增广矩阵的秩的关系来判断）、非齐次线性方程组的求解．对于系数矩阵中含有参数的，要注意在做初等行变换时，尽量不要出现对参数讨论的情形．

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