一道关于导数的问题!已知函数f(x)=x^2+bx+c(b,c∈R）,对任意的X∈R,恒有f(x)的导数≤f(x)(1)证明：当x≥0时,f(x)≤(x+c)^2（2）若对满足题设条件的任意b,c,不等式f(c)-f(b)≤M（c^2-b^2)恒成立,求M的最小值

Question

一道关于导数的问题!
已知函数f(x)=x^2+bx+c(b,c∈R）,对任意的X∈R,恒有f(x)的导数≤f(x)
(1)证明：当x≥0时,f(x)≤(x+c)^2
（2）若对满足题设条件的任意b,c,不等式f(c)-f(b)≤M（c^2-b^2)恒成立,求M的最小值!

Answer 1

f'(x) = 2x + b
g(x) = f(x) - f'(x) = x^2+ (b-2)x + (c-b)>=0
于是有 Δ=b^2-4ac = (b-2)^2 - 4(c-b)=0
G(x) = f(x) - (x+c)^2= (b-2c)x + (c-c^2)
其中b-2c =0,若等于0,则恒成立,否则不等式两边可以同除以c^2-b^2,符号不变
于是有M>=(c+2b)(c-b)/(c+b)(c-b) = (c+2b)/(c+b) = 1+ b/(c+b)
由1中得到c>=b,所以 b/(c+b)最大为b=c时且为1/2
所以有M>=1+1/2= 3/2