已知（3x2+3x2）n展开式各项系数的和比它的二项式系数的和大992．（Ⅰ）求n；（Ⅱ）求展开式中x6的项；（Ⅲ）求展开式系数最大项．

Question

已知（

3

x2

+3x²）ⁿ展开式各项系数的和比它的二项式系数的和大992．
（Ⅰ）求n；
（Ⅱ）求展开式中x⁶的项；
（Ⅲ）求展开式系数最大项．

Answer 1

（Ⅰ）由题意可得 （1+3）ⁿ-2ⁿ=992，即（2ⁿ-32）（2ⁿ+31）=0，解得 n=5．
（Ⅱ）（

3

x2

+3x²）ⁿ=（

3

x2

+3x²）⁵展开式的通项公式为T_r+1=

C

r 5

•3^r•x(10+4r)/(3)，
令 (10+4r)/(3)=6，求得r=2，故开式求展开式中x⁶的项为

C

2 5

×9•x⁶=90x⁶．
（Ⅲ）设展开式系数最大项为第r+1项，则有

C

r 5

•3r

≥C

r+1 5

•3r+1

C

r 5

•3r

≥C

r−1 5

•3r−1

，
解得r=4，故第5项的系数最大为

C

4 5

•3⁴ x(26)/(3)=405x(26)/(3)．