已知n∈N*，在（x+2）n的展开式中，第二项系数是第三项系数的15．（1）求n的值；（2）求展开式中二项式系数最大的项；（3）若（x+2）n=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+an（x+1）n，求a0+a1+…+an的值

Question

已知n∈N^*，在（x+2）ⁿ的展开式中，第二项系数是第三项系数的(1)/(5)．
（1）求n的值；
（2）求展开式中二项式系数最大的项；
（3）若（x+2）ⁿ=a₀+a₁（x+1）+a₂（x+1）²+…+a_n（x+1）ⁿ，求a₀+a₁+…+a_n的值．

Answer 1

（1）由题得2

C

1 n

=(1)/(5)×22

C

2 n

，（2分）
解得n=6．（4分）
（2）由（1）知，二项式系数最大的值为

C

3 6

，为第四项，（6分）
T4=

C

3 6

x3×23=160x3．（8分）
（3）(x+2)6=[(x+1)+1]6=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a6(x+1)6，（10分）
令x=0，（11分）
得a0+a1+…+a6=26=64．（12分）