已知二项式（2x+1x）n（n∈N+）的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2：5，按要求完成以下问题：（Ⅰ）求n的值；（Ⅱ）求展开式中含x3的项；（Ⅲ）计算式子C0626+C1625+C2624+C3623+C

Question

已知二项式（2x+(1)/(√(x))）ⁿ（n∈N⁺）的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2：5，按要求完成以下问题：
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）求展开式中含x³的项；
（Ⅲ）计算式子C

0

6

26+C

1

6

25+C

2

6

24+C

3

6

2³+C

4

6

22+C

5

6

21+C

6

6

20的值．

Answer 1

（Ⅰ）依题意，C_n¹：C_n²=2：5，即5n=n（n-1），解得n=6；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知n=6．
∴T_r+1=C₆^r（2x）^6-r((1)/(√(x)))r=C₆^r2^6-rx6-(3)/(2)r
由6-(3)/(2)r=3，得r=2，∴展开式中含x³的项C₆²2^6-2x³=240x³．
（Ⅲ）令x=1得C

0

6

26+C

1

6

25+C

2

6

24+C

3

6

2³+C

4

6

22+C

5

6

21+C

6

6

20=3⁶．