已知fn(x)=(1+x)n，n∈N*．（1）若g（x）=f4（x）+2f5（x）+3f6（x），求g（x）中含x2项的系数；（2）若pn是fn（x）展开式中所有无理项的系数和，数列{an}是各

Question

已知 f n (x)=(1+

x

) n ，n∈N ^* ．
（1）若g（x）=f ₄ （x）+2f ₅ （x）+3f ₆ （x），求g（x）中含x ² 项的系数；
（2）若p _n 是f _n （x）展开式中所有无理项的系数和，数列{a _n }是各项都大于1的数组成的数列，试用数学归纳法证明：p _n （a ₁ a ₂ …a _n +1）≥（1+a ₁ ）（1+a ₂ ）…（1+a _n ）．

Answer 1

（1）g（x）=f ₄ （x）+2f ₅ （x）+3f ₆ （x）= (1+

x

) 4 +2 (1+

x

) 5 +3 (1+

x

) 6 ，
∴g（x）中含x ² 项的系数为

C

44

+2

C

45

+3

C

46

=1+10+45=56．（3分）
（2）证明：由题意，p _n =2 ^n-1 ．（5分）
①当n=1时，p ₁ （a ₁ +1）=a ₁ +1，成立；
②假设当n=k时，p _k （a ₁ a ₂ …a _k +1）≥（1+a ₁ ）（1+a ₂ ）…（1+a _k ）成立，
当n=k+1时，（1+a ₁ ）（1+a ₂ ）…（1+a _k ）（1+a _k+1 ）≤2 ^k-1 （a ₁ a ₂ …a _k +1）（1+a _k+1 ）
=2 ^k-1 （a ₁ a ₂ …a _k a _k+1 +a ₁ a ₂ …a _k +a _k+1 +1）．（*）
∵a _k ＞1，a ₁ a ₂ …a _k （a _k+1 -1）≥a _k+1 -1，即a ₁ a ₂ …a _k a _k+1 +1≥a ₁ a ₂ …a _k +a _k+1 ，
代入（*）式得（1+a ₁ ）（1+a ₂ ）…（1+a _k ）（1+a _k+1 ）≤2 ^k （a ₁ a ₂ …a _k a _k+1 +1）成立．
综合①②可知，p _n （a ₁ a ₂ …a _n +1）≥（1+a ₁ ）（1+a ₂ ）…（1+a _n ）对任意n∈N ^* 成立．（10分）