已知（1-2x）^n的展开式中,奇数项的二项式系数之和为64,则（1-2x）^n（1+x）的展开式中,x^4项的系数为?奇数项的系数和为2^(n-1)=64n=7我想问为啥奇数项的系数和为2(N-1)次方呢,这是怎么得到的呢,

Question

已知（1-2x）^n的展开式中,奇数项的二项式系数之和为64,则（1-2x）^n（1+x）的展开式中,x^4项的系数为?
奇数项的系数和为2^(n-1)=64
n=7我想问 为啥奇数项的系数和为2(N-1)次方呢,这是怎么得到的呢,还是定理呢?

Answer 1

对于一个多项式P(x),P(1)就是全体系数和.
而P(-1)就是偶次项系数和减去奇次项系数和.
因此奇次项系数和为(P(1)-P(-1))/2.
二项式系数是(1+x)^n的系数,
因此奇数项的二项式系数和为((1+1)^n-(1+(-1))^n)/2 = 2^(n-1).
这里区分(1-2x)^n的二项式系数并不是指该多项式的系数.
而只是二项式定理展开的系数.