高二数学二项式展开式项的系数最大值问题疑问求教,在学习二项式一章时,常见的一类题便是已知二项式,求展开式中系数最大的项.老师对这类问题解法的讲解是设所求项为Tr+1项,联立Tr+1>=Tr+

Question

高二数学二项式展开式项的系数最大值问题疑问 求教,
在学习二项式一章时,常见的一类题便是已知二项式,求展开式中系数最大的项.
老师对这类问题解法的讲解是设所求项为Tr+1项,联立Tr+1>=Tr+2和Tr+1>=Tr,然后解出r的范围,再取范围内的整数即可.
但是我对这一解法产生了疑问.因为能够这样设,前提便是展开式中项的系数应该存在这样的规律：
自第一项起一直到系数最大的一项,系数依次增大,呈递增数列；自系数最大的一项起一直到最后一项,系数依次减小,呈递减数列；
但是这并不符合实际情况,如过二项式括号里为减号,那么这种解法便不能解决,
例如：（1-x）^7
如果说解法仅对括号内为加号的二项式有效,可是老师未给出上述规律的解释,书上也未给出相应的说明和证明
特在此求教、、、、二项式展开式中是否有上述的规律?若有,怎样证明?若没有,那么老师所讲的解法能够成立的原因又是什么?
我现已知方法,如下
方法：设（1+ax）^n ,（a＞0）展开式中相邻两项系数分别为Tr+1=C（r,n）*a^r和Tr+2=C(r+1,n)*a^（r+1）
由Tr+2/Tr+1=a(n-r)/(r+1)=a[(n+1)/(r+1)-1]
∵0≤r≤n-1,r∈N
∴1/n≤[(n+1)/(r+1)-1]≤n且[(n+1)/(r+1)-1]随r的增大而递减
∴①a＞n时,Tr+2/Tr+1＞1,系数依次递增；
②0＜a＜1/n时,0＜Tr+2/Tr+1＜1,系数依次递减；
③1/n＜a＜n时,系数先递增后递减,且若n等于（r+1）/（n-r）的其中一个值,则有两相邻项系数同为最大；

Answer 1

展开式中各项的二项式系数和某一项的系数是两回事.
(1+2x)^7 的展开式中二项式系数最大的项是第4项或第5项,系数为C(7,3),C(7,4).
(1+2x)^7 的展开式中系数最大的项为第3项,系数为C(7,2)*(2^5)=672,其余项系数为
C(7,0)*(2^7)=128, C(7,1)*(2^6)=448, C(7,2)*(2^5)=672, C(7,3)*(2^4)=560,
C(7,4)*(2^3)=280, C(7,5)*(2^2)=48, C(7,6)*(2^1)=14, C(7,7)*(2^0)=1,
杨辉三角告诉我们,（a+b）^n的展开式中,最中间的一项或者两项的二项式系数最大,
通过观察我们可以发现,在一些特殊式子中,某些参数的系数也是具有这样的规律,某一项的系数比相邻的两项的系数都大.
通过对书中习题的比较发现当通过联立Tr+1>=Tr+2和Tr+1>=Tr时,括号内没有出现减号.
比如书中有这样的习题：
若(1+2x)^6的展开式中第2项大于它的相邻两项,则x的取值范围是____
若出现减号的时候,通常求的是二项式系数最大的项,比如
(2x-5y) ^20的展开式中二项式系数最大的项为第____项