己知（1+2x）2n展开式的二项式系数之和是（2x-1x）n展开式的二项式系数之和的64倍．（1）求（1+2x）2n展开式的第3项；（2）求（2x-1x）n展开式含x的项．

Question

己知（1+2x）²ⁿ展开式的二项式系数之和是（2√(x)-(1)/(√(x))）ⁿ展开式的二项式系数之和的64倍．
（1）求（1+2x）²ⁿ展开式的第3项；
（2）求（2√(x)-(1)/(√(x))）ⁿ展开式含x的项．

Answer 1

（1）由二项式系数的性质，可得：
2²ⁿ=64×2ⁿ，解得n=6；
所以（1+2x）¹²展开式的第3项为：
T₂₊₁=C₁₂²•（2x）²=264x²；
（2）由二项式（2√(x)-(1)/(√(x))）⁶展开式的通项公式为：
T_r+1=C₆^r•（2√(x)）^6-r•（-(1)/(√(x))）^r=（-1）^r•2^6-r•C₆^r•x^3-r，
令3-r=1，可得r=2，
所以其展开式中含x项为：
T₂₊₁=2⁴•

C

2 6

x=240x．