已知(2x2-1x)n的展开式二项式系数和比它的各项系数和大31．（Ⅰ）求展开式中含有x4的项；（Ⅱ）求展开式中二项式系数最大的项．

Question

已知(2x2-(1)/(x))n的展开式二项式系数和比它的各项系数和大31．
（Ⅰ）求展开式中含有x⁴的项；
（Ⅱ）求展开式中二项式系数最大的项．

Answer 1

令x=1得展开式各项系数和为1ⁿ，二项式系数为2ⁿ，
由题意得：2ⁿ-1ⁿ=31，解得n=5．（3分）
（Ⅰ）Tr+1=

C

r 5

(2x2)5-r(-(1)/(x))r=(-1)r25-r

C

r 5

x10-3r，当10-3r=4⇒r=2，
∴T3=

C

2 5

(2x2)3(-(1)/(x))2=80x4为所求．（6分）
（Ⅱ）∵n=5，∴展开式共6项，二项式系数最大项为第三、四项，（8分）
∴T3=

C

2 5

(2x2)3(-(1)/(x))2=80x4，T4=

C

3 5

(2x2)2(-(1)/(x))3=-40x为所求．（10分）