如图，已知△ABC的BC边的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E，EF⊥AB的延长线于点F，EG⊥AC于点G，求证：（1）BF=CG；（2）AB+AC=2AG．

Question

如图，已知△ABC的BC边的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E，EF⊥AB的延长线于点F，EG⊥AC于点G，求证：

（1）BF=CG；
（2）AB+AC=2AG．

Answer 1

（1）证明：连接BE、EC，
∵ED⊥BC，
D为BC中点，
∴BE=EC，
∵EF⊥AB EG⊥AG，
且AE平分∠FAG，
∴FE=EG，
在Rt△BFE和Rt△CGE中，

BE=CE

EF=EG

，
∴Rt△BFE≌Rt△CGE （HL），
∴BF=CG；

（2）在Rt△AFE与Rt△AGE中，

EF=EG

AE=AE

，
∴Rt△AFE≌Rt△AGE，
∴AG=AF，
∵AB+AC=AB+AG+CG=AB+AG+BF=AG+AF=2AG．