如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE．（1）求证：∠CBE=36°；（2）求证：AE2=AC•EC．

Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE．

（1）求证：∠CBE=36°；
（2）求证：AE²=AC•EC．

Answer 1

证明：（1）∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA=EB，
∴∠EBA=∠A=36°．
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°．
∴∠CBE=∠ABC-∠EBA=36°．
（2）由（1）得，在△BCE中，∠C=72°，∠CBE=36°，
∴∠BEC=∠C=72°，
∴BC=BE=AE．
在△ABC与△BEC中，∠CBE=∠A，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BEC．
∴(AC)/(BC)=(BC)/(EC)，
即BC²=AC•EC．
故AE²=AC•EC．