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正方形ABCD边长为4,点E是边AB上的动点(点E不与A、B重合),线段DE的垂直平分线和边AD、BC分别交于点F、G,和DE交于点H.(1)直接写出∠GFD的范围(用不等式表示,不必说明理由);(2)
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正方形ABCD边长为4,点E是边AB上的动点(点E不与A、B重合),线段DE的垂直平分线和边AD、BC分别交于点F、G,和DE交于点H.
(1)直接写出∠GFD的范围(用不等式表示,不必说明理由);
(2)求证:FG=DE;
(3)设AE=x,四边形AFGB的面积为y,当x为多少时,y的值最大?此时y的最大值是多少?
(1)直接写出∠GFD的范围(用不等式表示,不必说明理由);
(2)求证:FG=DE;
(3)设AE=x,四边形AFGB的面积为y,当x为多少时,y的值最大?此时y的最大值是多少?
▼优质解答
答案和解析
(1)当点E在A处时,AD与ED重合,FG垂直平分ED,就有∠GFD=90°,
当点E与点B重合时,ED与BD重合,FG垂直平分ED,就是FG垂直平分BD,
则∠GFD=∠CAD=45°,
∵点E不与A、B重合,
∴45°<∠GFD<90°;
(2)过点F作FN⊥BC于N,
则∠BNF=∠FNG=90°.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠A=∠B=90°,AB=BC=CD=AD.
∴四边形ABNF是矩形,
∴FN=AB=AD,
∵ED⊥FG,
∴∠EHG=90°,
∴∠EHG+∠B=180°.
∵四边形BEHG的内角和是360°,
∴∠BED+∠BGH=180°.
∵∠AED+∠BED=180°,
∴∠AED=∠BGF,
∵∠A=∠FNG=90°.
∵在△AED和△NGF中,
,
∴△AED≌△NGF(AAS),
∴DE=FG,AE=NG;
(3)如图,连接EF,设AF=a,
∴FD=4-a.
∵FG垂直平分ED,
∴EF=FD,
∴EF=4-a.
在Rt△AEF中,由勾股定理,得
AE2+AF2=EF2,
∴a2+x2=(4-a)2,
∴a=
.
∵AF≤BG,即点N在线段BG上,且AE=x,
∴BG=BN+GN=x+
,
∴y=
(AF+BG)×AB=2(
+x+
),
=-
x2+2x+8,
=-
(x-2)2+10(0<x<4).
∴当x=2时,y有最大值,最大值是10.
当点E与点B重合时,ED与BD重合,FG垂直平分ED,就是FG垂直平分BD,
则∠GFD=∠CAD=45°,
∵点E不与A、B重合,
∴45°<∠GFD<90°;
(2)过点F作FN⊥BC于N,
则∠BNF=∠FNG=90°.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠A=∠B=90°,AB=BC=CD=AD.
∴四边形ABNF是矩形,
∴FN=AB=AD,
∵ED⊥FG,
∴∠EHG=90°,
∴∠EHG+∠B=180°.
∵四边形BEHG的内角和是360°,
∴∠BED+∠BGH=180°.
∵∠AED+∠BED=180°,
∴∠AED=∠BGF,
∵∠A=∠FNG=90°.
∵在△AED和△NGF中,
|
∴△AED≌△NGF(AAS),
∴DE=FG,AE=NG;
(3)如图,连接EF,设AF=a,
∴FD=4-a.
∵FG垂直平分ED,
∴EF=FD,
∴EF=4-a.
在Rt△AEF中,由勾股定理,得
AE2+AF2=EF2,
∴a2+x2=(4-a)2,
∴a=
16−x2 |
8 |
∵AF≤BG,即点N在线段BG上,且AE=x,
∴BG=BN+GN=x+
16−x2 |
8 |
∴y=
1 |
2 |
16−x2 |
8 |
16−x2 |
8 |
=-
1 |
2 |
=-
1 |
2 |
∴当x=2时,y有最大值,最大值是10.
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