△ABC是等边三角形，D是三角形外一动点，满足∠ADB=60°．（1）如图①，当D点在AC的垂直平分线上时，求证：DA+DC=DB；（2）如图②，当D点不在AC的垂直平分线上时，（1）中的结论是否仍然成

Question

△ABC是等边三角形，D是三角形外一动点，满足∠ADB=60°．

（1）如图①，当D点在AC的垂直平分线上时，求证：DA+DC=DB；
（2）如图②，当D点不在AC的垂直平分线上时，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．

Answer 1

证明：（1）∵D点在AC的垂直平分线上，
∴AD=CD，
∴∠DAC=∠DCA，∠ADB=∠CDB=60°，
∴∠DAC=30°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠BAD=90°，
∴∠ABD=90°-∠ADB=30°，
∴BD=2AD=AD+CD；
（2）成立．
理由：在DB上截取DE=AD，
∵∠ADB=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AE=AD，∠EAD=60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∴∠BAE=∠CAD，
在△BAE和△CAD中，

AB＝AC

∠BAE＝∠CAD

AE＝AD

，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴BE=CD，
∴BD=DE+BE=AD+CD．