如图，已知点A是线段OB的垂直平分线上一点，AN⊥ON，BO⊥ON，P为ON上一点，∠OPB=∠OAB．（1）若∠AOB=60°，PB=4，则OP=；（2）在（1）的条件下，求证：PA+PO=PB；（3）如图②，若ON=5，求出PO

Question

如图，已知点A是线段OB的垂直平分线上一点，AN⊥ON，BO⊥ON，P为ON上一点，∠OPB=∠OAB．

（1）若∠AOB=60°，PB=4，则OP=___；
（2）在（1）的条件下，求证：PA+PO=PB；
（3）如图②，若ON=5，求出PO+PB的值．

Answer 1

（1）∵点A是线段OB的垂直平分线上一点，
∴AO=AB．
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB=AB，∠OAB=∠ABO=60°．
∴∠OPB=∠OAB=60°．
∵BO⊥ON，即∠POB=90°，
∴∠OBP=30°，
∴OP=(1)/(2)PB=(1)/(2)×4=2．
故答案为2；

（2）证明：如图①，
由（1）得OB=AB，∠OAB=∠ABO=60°，∠OBP=30°，
∴∠ABP=∠ABO-∠OBP=30°=∠OBP．
在△OBP和△ABP中，

OB=AB

∠OBP=∠ABP

BP=BP

，
∴△OBP≌△ABP（SAS），
∴OP=AP=2，
∴PA+PO=4=PB；

（3）延长ON、BA交于点D，如图②．
∵AO=AB，∴∠AOB=∠ABO．
∵∠DOB=90°，
∴∠D+∠OBD=90°，∠AOD+∠BOA=90°，
∴∠D=∠AOD，
∴AD=AO．
∵AN⊥OD，
∴DN=ON=5．
∵∠OPB=∠OAB，
∴∠AOD=∠PBD，
∴∠D=∠PBD，
∴PD=PB，
∴PO+PB=PO+PD=OD=10．