已知△ABC是等边三角形，D在BC的延长线上，且CD=2，S△ABD=63．（Ⅰ）求AB的长；（Ⅱ）求sin∠CAD的值．

Question

已知△ABC是等边三角形，D在BC的延长线上，且CD=2，S△ABD=6√(3)．

（Ⅰ）求AB的长；
（Ⅱ）求sin∠CAD的值．

Answer 1

（本小题满分13分）
（Ⅰ）设AB=x．
因为△ABC是等边三角形，
所以∠ABC=(π)/(3)．
因为S△ABD=(1)/(2)AB•BDsin∠ABC，
所以6√(3)=(1)/(2)x(x+2)×(√(3))/(2)．
即x²+2x-24=0．
所以x=4，x=-6（舍）．
所以AB=4．…（6分）
（Ⅱ）因为AD²=AB²+BD²-2AB•BDcos∠ABC，
所以AD2=16+36-2×4×6×(1)/(2)=28．
所以AD=2√(7)．
在△ACD中，
因为(CD)/(sin∠CAD)=(AD)/(sin∠ACD)，
所以sin∠CAD=(CD•sin∠ACD)/(AD)=(2×(√(3))/(2))/(2√(7))=(√(21))/(14)．…（13分）