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已知△ABC和△ADE都是等边三角形,点B,D,E同一在一条直线上.(1)如图1,当AC⊥DE,且AD=2时,求线段BC的长度;(2)如图2,当且CD⊥BE时,取线段BC的中点F,线段DC的中点G,连接DF,EG,
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已知△ABC和△ADE都是等边三角形,点B,D,E同一在一条直线上.
(1)如图1,当AC⊥DE,且 AD=2时,求线段BC的长度;
(2)如图2,当且CD⊥BE时,取线段BC的中点F,线段DC的中点G,连接DF,EG,求证:DF=EG.
(1)如图1,当AC⊥DE,且 AD=2时,求线段BC的长度;
(2)如图2,当且CD⊥BE时,取线段BC的中点F,线段DC的中点G,连接DF,EG,求证:DF=EG.
▼优质解答
答案和解析
(1) 如图1所示:
∵△ABC和△ADE都是等边三角形,AC⊥DE,AD=2,
∴BC=AC,DE=AD=2,DF=
DE=1,AF=CF,
∴AF=
=
,
∴AC=2AF=2
,
∴BC=2
;
(2)证明:连接CE,如图2所示:
∵ABC和△ADE都是等边三角形,点B,D,E同一在一条直线上.
∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=∠AED=60°,
∴∠ADB=120°,∠BAD=∠CAE,
在△ABD和△ACE中,
,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴BD=CE,∠AEC=∠ADB=120°,
∴∠CED=∠AEC-∠AED=60°,
∵CD⊥BE,
∴∠DCE=30°,
∴DE=
CE,
∵线段BC的中点为F,线段DC的中点为G,
∴FG∥BD,FG=
BD,
∴FG∥DE,FG=DE,
∴四边形DFGE是平行四边形,
∴DF=EG.
∵△ABC和△ADE都是等边三角形,AC⊥DE,AD=2,
∴BC=AC,DE=AD=2,DF=
1 |
2 |
∴AF=
AD2-DF2 |
3 |
∴AC=2AF=2
3 |
∴BC=2
3 |
(2)证明:连接CE,如图2所示:
∵ABC和△ADE都是等边三角形,点B,D,E同一在一条直线上.
∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=∠AED=60°,
∴∠ADB=120°,∠BAD=∠CAE,
在△ABD和△ACE中,
|
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴BD=CE,∠AEC=∠ADB=120°,
∴∠CED=∠AEC-∠AED=60°,
∵CD⊥BE,
∴∠DCE=30°,
∴DE=
1 |
2 |
∵线段BC的中点为F,线段DC的中点为G,
∴FG∥BD,FG=
1 |
2 |
∴FG∥DE,FG=DE,
∴四边形DFGE是平行四边形,
∴DF=EG.
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