在锐角三角形ABC中，BC=5，sinA=45．（1）如图①，求△ABC外接圆的直径；（2）如图②，若点I为△ABC的内心，BA=BC，求AI的长．

Question

在锐角三角形ABC中，BC=5，sinA=(4)/(5)．
（1）如图①，求△ABC外接圆的直径；
（2）如图②，若点I为△ABC的内心，BA=BC，求AI的长．

Answer 1

（1）作DB垂直于BC，连DC，
∵∠DBC=90°，∴DC为直径．
∵∠A=∠D，BC=5，sinA=(4)/(5)，
∴sinD=(BC)/(CD)=(4)/(5)，
∴CD=(25)/(4)，
答：三角形ABC外接圆的直径是(25)/(4)．

（2）连接IC、BI，且延长BI交AC于F，过点I作IG⊥BC于点G，过I作IE⊥AB于E，
∵AB=BC=5，I为△ABC内心，
∴BF⊥AC，AF=CF，
∵sinA=(4)/(5)=(BF)/(AB)，
∴BF=4，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF=CF=3，
AC=2AF=6，
∵I是△ABC内心，IE⊥AB，IF⊥AC，IG⊥BC，
∴IE=IF=IG，
设IE=IF=IG=R，
∵△ABI、△ACI、△BCI的面积之和等于△ABC的面积，
∴(1)/(2)AB×R+(1)/(2)BC×R+(1)/(2)AC×R=(1)/(2)AC×BF，
即5×R+5×R+6×R=6×4，
∴R=(3)/(2)，
在△AIF中，AF=3，IF=(3)/(2)，由勾股定理得：AI=(3√(5))/(2)．
答：AI的长是(3√(5))/(2)．