设锐角三角形ABC的边BC上,有一点D,使得AD把△ABC分成两个等腰三角形,求最小内角的取值范围

Question

设锐角三角形ABC的边BC上,有一点D,使得AD把△ABC分成两个等腰三角形,求最小内角的取值范围

Answer 1

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分类讨论,
首先否定AD=BD=DC,因为这时,△ABC为直角三角形
一、当AD=BD=AC时,∠ADC=∠C,∠B=∠BAD,显然,∠C=∠4=2∠B,
令各角大于0°,小于90°,解得30°<∠B<45°,
易得∠BAC=180°-3∠B,
所以当∠B<45°时,恒有∠B为最小角
此时30°<∠B<45°
二、AD=BD,AC=CD
此时,∠1=∠B,∠2=∠4=2∠B,
所以,∠BAC=3∠B,∠C=180°-4∠B,
令各角大于0°,小于90°,解得22.5°<∠B<30°,
此时∠B仍是最小角（证明略）
三、AB=AD=CD,结论同（一）
四、AB=AD=AC,这是不可能的,证明略
五、AB=AD,AC=CD,
此时,∠3=∠B,∠2=∠4=90°-1/2∠C,
由于∠3+∠4=180°,所以∠B=90°+1/2∠C,
∠C>0°,所以∠B>90°,不符题意.
六、AB=BD,AD=CD,结论同（二）
七、AB=BD,AD=AC,
∠C=∠4,∠1=∠3,结论同（五）
八、AB=BD,AC=CD
∠1=∠3,∠2=∠4,因为∠3+∠4=180°,所以∠1+∠2=180°,不符题意
综上所述,最小角的取值范围是22.5°到45°