随意说出3个正数,其中能组成钝角三角形的概率是多少?

Question

随意说出3个正数,其中能组成钝角三角形的概率是多少?

Answer 1

假设三个数的值域是(0,L),在xyz坐标系中,我们求在这个长为L的立方块中的一个区域,满足x,y,z是组成锐角三角形.然后把L趋于无穷,求极限.
不妨设z>x,z>y,那么
钝角三角形的约束就是
x^2+y^2z
这时一个圆锥面和一个平明夹得的区域
积分(dxdydz)积分区间是上述约束,并且都在(0,L)内.求得的值一定可以和L^3约掉,得到一个常值.当L趋于无穷的时候,这个值不变.所以首先保证钝角三角形的概率是正值.
然后上述是假设z>x,z>y
那么实际三条边充当最大边都是等概率的,所以在上述求得的值再乘以3就是锐角三角形的概率.
直角三角形的概率是0,因为那不是一个区域,而是一条曲线；
钝角三角形的概率也是一个正值.
最后再加上不能构成三角形的概率,总和正好是1.