如图,边长为1的菱形ABCD中,∠DAB=60度．连接对角线AC,以AC为边作第二个菱形ACC1D1,使∠D1AC=60°；连接AC1,再以AC1,为边作第三个菱形AC1C2D2,使∠D2AC1=60°；…,按此规律所作的第n个菱形的边长为写清

Question

如图,边长为1的菱形ABCD中,∠DAB=60度．连接对角线AC,以AC为边作第二个菱形ACC1D1,使∠D1AC=60°；连接AC1,再以AC1,为边作第三个菱形AC1C2D2,使∠D2AC1=60°；…,按此规律所作的第n个菱形的边长为 写清理由哦

Answer 1

第一个菱形的对角线AC是三角形ABC中角ABC的对边,角ABC又是菱形的一个内角,它与角DAB互补,故角ABC=120°,于是由余弦定理得
AC^2=AB^2+BC^2-2AB*BCcos120°=1+1-2*1*1*(-1/2)=3,即AC=根号3；
由题意知第二个菱形的边长为根号3,
同理可得第二个菱形的对角线AC1=AC^2+(CC1)^2-2AC*(CC1)cos120°=3+3-2*3*（-1/2)=9,即AC1=3,也就是第三个菱形的边长为3,
进而得第四个菱形的边长为(AC2)^2=9+9-2*9*(-1/2)=27,即AC2=3倍根号3
综上,各个菱形的边长依次为：1,根号3,3,3倍根号3,……
以此类推,即得第n个菱形的边长为 (根号3)^(n-1).