三角形ABC是等边三角形,D为BC延长线上任意一点,角ADE=60,边DE与角ACB外角平分线相交于E.求证:AD=DE

Question

三角形ABC是等边三角形,D为BC延长线上任意一点,角ADE=60,边DE与角ACB外角平分线相交
于E.求证:AD=DE

Answer 1

(1）证明：
如图,在AB上截取BH=BD
∵⊿ABC是等边三角形
∴∠B=60º,ZB＝AC,∠ACB＝60º
又∵BH=BD
∴AH=DC
∵CE平分∠ACB的外角,且∠ACB=60º
∴∠ACE＝60º
∴∠DCE＝∠ACB＋∠ACE＝120º
∵∠B＝60º,BH=BD
∴⊿BHD是等边三角形
∴∠BHD=60º
∴∠AHD＝60º
∴∠AHD=∠DCE
∵∠ADC＝∠ADE＋∠EDC
且∠ADC＝∠HAD＋∠B
∴∠ADE＋∠EDC＝∠HAD＋∠B
又∵∠ADE＝∠B＝60º
∴∠HAD＝∠EDC
在⊿AHD与⊿DCE中
﹛∠HAD＝∠EDC
﹛∠AHD=∠DCE
﹛AH=DC
∴⊿AHD≌⊿DCE﹙AAS﹚
∴AD＝DE
﹙2﹚
不变,如图,在AB的延长线上截取BH=BD
∵⊿ABC是等边三角形
∴∠2＝∠1＝60º,AB=BC,∠ABC=60º
又∵BH=BD
∴AH=CD且⊿BDH是等边三角形
∴∠H＝60º,∠BDH＝60º
又∵CE平分∠ACB的外角,且∠ACB＝60º
∴∠3＝60º
∴∠3＝∠H
∵∠ADH=∠ADE＋∠BDH﹣∠4＝120º－∠4
且∠DEC＝180º－∠3－∠4＝120º－∠4
∴∠ADH＝∠DEC
∴在⊿AHD与⊿DCE中
﹛∠3＝∠H
﹛∠ADH＝∠DEC
﹛AH=CD
∴⊿AHD≌⊿DCE﹙AAS﹚
∴AD=DE