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(2013•南漳县模拟)如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F(1)若CE=12,CF=5,求OC的长;(2)当点O在边AC上运动到何
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(2013•南漳县模拟)如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F
(1)若CE=12,CF=5,求OC的长;
(2)当点O在边AC上运动到何处且△ABC满足什么条件时,四边形AECF是正方形?并说明理由.
(1)若CE=12,CF=5,求OC的长;
(2)当点O在边AC上运动到何处且△ABC满足什么条件时,四边形AECF是正方形?并说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵OF是∠BCA的外角平分线,
∴∠OCF=∠FCD,
又∵MN∥BC,
∴∠OFC=∠FCD,
∴∠OFC=∠OCF,
∴OF=OC,
∴OE=OF;
∵MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F
∴∠ECF=90°,
∵CE=12,CF=5,
∴EF=
=13,
∵CE是∠ACB的角平分线,
∴∠ACE=∠BCE,
又∵MN∥BC,
∴∠NEC=∠ECB,
∴∠NEC=∠ACE,
∴OE=OC,
∴CO是△ECF上的中线,
∴CO=
EF=6.5;
(2)点O是AC的中点且∠ACB=90°,
理由:∵O为AC中点,
∴OA=OC,
∵由(1)知OE=OF,
∴四边形AECF为平行四边形;
∵∠1=∠2,∠4=∠5,∠1+∠2+∠4+∠5=180°,
∴∠2+∠5=90°,即∠ECF=90°,
∴▱AECF为矩形,
又∵AC⊥EF.
∴▱AECF是正方形.
∴当点O为AC中点且△ABC是以∠ACB为直角三角形时,四边形AECF是正方形.
∴∠OCF=∠FCD,
又∵MN∥BC,
∴∠OFC=∠FCD,
∴∠OFC=∠OCF,
∴OF=OC,
∴OE=OF;
∵MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F
∴∠ECF=90°,
∵CE=12,CF=5,
∴EF=
122+52 |
∵CE是∠ACB的角平分线,
∴∠ACE=∠BCE,
又∵MN∥BC,
∴∠NEC=∠ECB,
∴∠NEC=∠ACE,
∴OE=OC,
∴CO是△ECF上的中线,
∴CO=
1 |
2 |
(2)点O是AC的中点且∠ACB=90°,
理由:∵O为AC中点,
∴OA=OC,
∵由(1)知OE=OF,
∴四边形AECF为平行四边形;
∵∠1=∠2,∠4=∠5,∠1+∠2+∠4+∠5=180°,
∴∠2+∠5=90°,即∠ECF=90°,
∴▱AECF为矩形,
又∵AC⊥EF.
∴▱AECF是正方形.
∴当点O为AC中点且△ABC是以∠ACB为直角三角形时,四边形AECF是正方形.
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