P是等边△ABC的边BC上任意一点,∠APQ=60°,点Q在△ABC的外角平分线上,求证：△APQ也是等边三角形

Question

P是等边△ABC的边BC上任意一点,∠APQ=60°,点Q在△ABC的外角平分线上,求证：△APQ也是等边三角形

Answer 1

AC和PQ的交点为O
△BDH为等边三角形
CQ是∠C的外角平分线
∠ACQ=∠ACP=60°
在△CQO和△AOP中
∠APO=60°=∠ACQ
∠AOP=∠COQ(对顶角)
△CQO和△AOP相似
OQ：OA=OP：OC
在△AOQ和△POC
∠AOQ=∠POC(对顶角)
OQ：OA=OP：OC
∴△AOQ和△POC相似
∠AQO=∠POC=60°
∴APQ是等边三角形