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(2010•河源)如图,△ABC中,点P是边AC上的一个动点,过P作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F.(1)求证:PE=PF;(2)当点P在边AC上运动时,四边形AECF可能
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![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/54fbb2fb43166d2230bb9625452309f79152d2b7.jpg)
(1)求证:PE=PF;
(2)当点P在边AC上运动时,四边形AECF可能是矩形吗?说明理由;
(3)若在AC边上存在点P,使四边形AECF是正方形,且
AP |
BC |
| ||
2 |
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵CE平分∠BCA,
∴∠BCE=∠ECP,
又∵MN∥BC,
∴∠BCE=∠CEP,
∴∠ECP=∠CEP,
∴PE=PC;
同理PF=PC,
∴PE=PF;
(2)当点P运动到AC边中点时,四边形AECF是矩形.理由如下:![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/7c1ed21b0ef41bd5b6646a4552da81cb39db3d4f.jpg)
由(1)可知PE=PF,
∵P是AC中点,
∴AP=PC,
∴四边形AECF是平行四边形.
∵CE、CF分别平分∠BCA、∠ACD,
且∠BCA+∠ACD=180°,
∴∠ECF=∠ECP+∠PCF=
(∠BCA+∠ACD)=
×180°=90°,
∴平行四边形AECF是矩形;
(3)若四边形AECF是正方形,则AC⊥EF,AC=2AP.
∵EF∥BC,
∴AC⊥BC,
∴△ABC是直角三角形,且∠ACB=90°,
∴tan∠BAC=
=
=
,
∴∠BAC=30°.
∴∠BCE=∠ECP,
又∵MN∥BC,
∴∠BCE=∠CEP,
∴∠ECP=∠CEP,
∴PE=PC;
同理PF=PC,
∴PE=PF;
(2)当点P运动到AC边中点时,四边形AECF是矩形.理由如下:
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/7c1ed21b0ef41bd5b6646a4552da81cb39db3d4f.jpg)
由(1)可知PE=PF,
∵P是AC中点,
∴AP=PC,
∴四边形AECF是平行四边形.
∵CE、CF分别平分∠BCA、∠ACD,
且∠BCA+∠ACD=180°,
∴∠ECF=∠ECP+∠PCF=
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∴平行四边形AECF是矩形;
(3)若四边形AECF是正方形,则AC⊥EF,AC=2AP.
∵EF∥BC,
∴AC⊥BC,
∴△ABC是直角三角形,且∠ACB=90°,
∴tan∠BAC=
BC |
AC |
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2
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∴∠BAC=30°.
看了 (2010•河源)如图,△A...的网友还看了以下:
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