已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4求四边形ABCD的面积．

Question

已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4求四边形ABCD的面积．

Answer 1

如图：连接BD，则有四边形ABCD的面积，
S＝S△ABD+S△CDB＝(1)/(2)AB•ADsinA+(1)/(2)BC•CDsinC．
∵A+C=180°，∴sinA=sinC．
∴S ＝(1)/(2)(AB•AD+BC•CD)sinA=(1)/(2)(2×4+6×4)sinA＝16sinA．
由余弦定理，在△ABD中，
BD²=AB²+AD²-2AB•ADcosA=2²+4²-2×2×4cosA=20-16cosA，
在△CDB中  BD²=CB²+CD²-2CB•CDcosC=6²+4²-2×6×4cosC=52-48cosC，
∴20-16cosA=52-48cosC
∵cosC=-cosA，
∴64cosA=-32，cosA＝−(1)/(2)，
∴A=120°，
∴S＝16sin120°＝8√(3)．
故答案为8√(3)．