给定四条边的长度,当且仅当该四边形内接于圆时,面积最大?请证明.另,Bretschneider公式有什么别名么?谁能给我讲一下推导过程...

Question

给定四条边的长度,当且仅当该四边形内接于圆时,面积最大?
请证明.另,Bretschneider公式有什么别名么?谁能给我讲一下推导过程...

Answer 1

设四边形的四条边为a,b,c,d.p=(a+b+c+d)/2 为半周长.
对于普通四边形,如果其一对内角和为θ,由Bretschneider公式,此四边形面积S=√[(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcdcos^2(θ/2)].
圆内接四边形其一对内角和为θ=180度,由Bretschneider公式,
此四边形面积S=√[(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)]={[(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)]^(1/4)}^2