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在圆内接四边形ABCD中,顺次取△ABD,△ABC,△CDB、△CDA的内心O1,O2,O3,O4.求证:四边形O1O2O3O4是一个矩形.
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在圆内接四边形ABCD中,顺次取△ABD,△ABC,△CDB、△CDA的内心O1,O2,O3,O4.求证:四边形O1O2O3O4是一个矩形.
▼优质解答
答案和解析
证明:顺次连接AO1,BO1,AO2,BO2(图).
则:∠AO1B=90°+
∠ADB,∠AO2B=90°+
∠ACB.
但∠ADB=∠ACB,∠AO1B=∠AO2B,
从而A、B、O2、O1四点共圆,
则∠AO1O2=180°-∠ABO2=180°-
∠ABC.
同理有:∠AO1O4=180°-∠ADC.故∠AO1O2+∠AO1O4=360°-
(∠ABC+∠ADC)=270°,
故∠O2O1O4=90°.
同理有∠O1O2O3=90°,∠O2O3O4=90°.
因此四边形O1O2O3O4是矩形.
则:∠AO1B=90°+
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但∠ADB=∠ACB,∠AO1B=∠AO2B,
从而A、B、O2、O1四点共圆,
则∠AO1O2=180°-∠ABO2=180°-
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同理有:∠AO1O4=180°-∠ADC.故∠AO1O2+∠AO1O4=360°-
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故∠O2O1O4=90°.
同理有∠O1O2O3=90°,∠O2O3O4=90°.
因此四边形O1O2O3O4是矩形.
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