在圆内接四边形ABCD中，顺次取△ABD，△ABC，△CDB、△CDA的内心O1，O2，O3，O4．求证：四边形O1O2O3O4是一个矩形．

Question

在圆内接四边形ABCD中，顺次取△ABD，△ABC，△CDB、△CDA的内心O₁，O₂，O₃，O₄．求证：四边形O₁O₂O₃O₄是一个矩形．

Answer 1

证明：顺次连接AO₁，BO₁，AO₂，BO₂（图）．
则：∠AO₁B=90°+(1)/(2)∠ADB，∠AO₂B=90°+(1)/(2)∠ACB．
但∠ADB=∠ACB，∠AO₁B=∠AO₂B，
从而A、B、O₂、O₁四点共圆，
则∠AO₁O₂=180°-∠ABO₂=180°-(1)/(2)∠ABC．
同理有：∠AO₁O₄=180°-∠ADC．故∠AO₁O₂+∠AO₁O₄=360°-(1)/(2)（∠ABC+∠ADC）=270°，
故∠O₂O₁O₄=90°．
同理有∠O₁O₂O₃=90°，∠O₂O₃O₄=90°．
因此四边形O₁O₂O₃O₄是矩形．