求证一个数学问题在给定的圆中,有无数个内接四边形,其中周长最大者是正方形吗,如果是请证明他,如果不是举出反例

Question

求证一个数学问题
在给定的圆中,有无数个内接四边形,其中周长最大者是正方形吗,如果是请证明他,如果不是举出反例

Answer 1

是
设圆半径为r 四边形一边长为2a
∴周长c=4a+4√r^2-a^2=4(a+√r^2-a^2)
有不等式(a^2+b^2)/2≥(a+b/2)^2得
c≤4√2*(a^2+r^2-a^2)=(4√2)r
当且仅当a=√2/2r时,等号成立
此时四边形为正方形
∴在给定的圆中,有无数个内接四边形,其中周长最大者是正方形