相似三角形问题已知圆O与圆A相交于C,D两点.A,O分别是两圆的圆心,三角形ABC内界于圆O,弦CD交AB于点G,交圆O的直径AE于点F,连接BD若圆A圆O的直径分别为六倍根号5,15且CG：CD=1：4,求AB和BD的长

Question

相似三角形问题
已知 圆O与圆A相交于C,D两点.A,O分别是两圆的圆心,三角形ABC内界于圆O,弦CD交AB于点G,交圆O的直径AE于点F,连接BD
若圆A圆O的直径分别为六倍根号5,15且CG：CD=1：4,求AB和BD的长

Answer 1

连接EC,RT△ACE中,AC=3√5,AE=15,根据勾股定理,EC=6√5
两圆心连线AE垂直平分两圆公共弦CD,所以RT△AFC∽RT△ACE
∴CF/AF=EC/AC=2/1
由于CG/CD=1/4,F是CD中点,∴GF=(1/2)CF=AF
所以△AGF是等腰直角三角形,∠AFG=45°
连接EB,则△AEB也是等腰直角三角形,AB=AE/√2=15√2/2
根据等弧对等角,∠ABD=∠ACD,∠ADB=∠AEB=45°
作AH⊥BD于H,则RT△AHD是等腰直角三角形,AH=HD=AD/√2=3√5/√2=3√10/2
RT△AHB∽RT△AFC,BH/AH=CF/AF=2/1
∴BH=2AH=3√10
∴BD=BH+HD=9√10/2