如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是CD上一点，且CF=3FD．则图中相似三角形的对数是（）A.1B.2C.3D.4

Question

如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是CD上一点，且CF=3FD．则图中相似三角形的对数是（　　）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Answer 1

有三对相似三角形，Rt△ABE∽Rt△DEF，Rt△ABE∽Rt△EBF，Rt△EBF∽Rt△DEF．
理由如下：
设正方形的边长为4a，则AE=DE=2a，DF=a，CF=3a，
在Rt△BCF中，BF=√(BC2+CF2)=5a，
在Rt△ABE中，BE=√(AB2+AE2)=2√(5)a，
在Rt△DEF中，EF=√(DF2+DE2)=√(5)a，
∵BE²+EF²=BF²，
∴△BEF为直角三角形，∠BEF=90°，
∵(AE)/(DF)=(2a)/(a)=2，(AB)/(DE)=(4a)/(2a)=2，
∴(AE)/(DF)=(AB)/(DE)，
∴Rt△ABE∽Rt△DEF，
同理得(AB)/(BE)=(AE)/(EF)，
∴Rt△ABE∽Rt△EBF，
∴Rt△EBF∽Rt△DEF．
故选：C．