如图，已知△ABC是O的内接三角形，AB=AC，点P是AB的中点，连接PA，PB，PC．（1）如图①，若∠BPC=60°．求证：AC=3AP；（2）如图②，若sin∠BPC=2425，求tan∠PAB的值．

Question

如图，已知△ABC是 O的内接三角形，AB=AC，点P是

AB

的中点，连接PA，PB，PC．
（1）如图①，若∠BPC=60°．求证：AC=√(3)AP；
（2）如图②，若sin∠BPC=(24)/(25)，求tan∠PAB的值．

Answer 1

（1）∵∠BPC=60°
∴∠BAC=60°，
∵AB=AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
∴∠APC=∠ABC=60°，
而点P是

AB

的中点，
∴∠ACP=(1)/(2)∠ACB=30°，
∴∠PAC=90°，
∴tan∠PCA=(PA)/(AC)=tan30°=(√(3))/(3)，
∴AC=√(3)PA；

（2）过A点作AD⊥BC交BC于D，连结OP交AB于E，如图，
∵AB=AC，
∴AD平分BC，
∴点O在AD上，
连结OB，则∠BOD=∠BAC，
∵∠BPC=∠BAC，
∴sin∠BOD=sin∠BPC=(24)/(25)=(BD)/(OB)，
设OB=25x，则BD=24x，
∴OD=√(OB2-BD2)=7x，
在Rt△ABD中，AD=25x+7x=32x，BD=24x，
∴AB=√(AD2+BD2)=40x，
∵点P是

AB

的中点，
∴OP垂直平分AB，
∴AE=(1)/(2)AB=20x，∠AEP=∠AEO=90°，
在Rt△AEO中，OE=√(AO2-AE2)=15x，
∴PE=OP-OE=25x-15x=10x，
在Rt△APE中，tan∠PAE=(PE)/(AE)=(10x)/(20x)=(1)/(2)，
即tan∠PAB的值为(1)/(2)．