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求证:直角三角形的内接三角形的周长不小于斜边上的高的2倍.
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求证:直角三角形的内接三角形的周长不小于斜边上的高的2倍.
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答案和解析
已知:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,P,Q,R分别是AB,BC,CA上的点,CD⊥AB于D,
求证:PQ+QR+RP≥2CD.
证明:作△ABC关于BC的轴对称图形△EBC,P,Q,R的对称点分别是S,Q,V.
CD的对称线段是CK.
再作△EBC关于CE的轴对称图形△EHC,S,Q,V的对称点分别是T,U,V,
CK的对称线段是CG.
于是QR=QV,PR=SV=TV,CD=CK=CG,CG⊥EH.
连接AH,显然四边形ABEH是平行四边形,
AB∥EH,而CD⊥AB,CG⊥EH,所以D,C,G在一条直线上
所以PQ+QR+RP=PQ+QV+VT≥DG=2CD.
求证:PQ+QR+RP≥2CD.
证明:作△ABC关于BC的轴对称图形△EBC,P,Q,R的对称点分别是S,Q,V.
CD的对称线段是CK.
再作△EBC关于CE的轴对称图形△EHC,S,Q,V的对称点分别是T,U,V,
CK的对称线段是CG.
于是QR=QV,PR=SV=TV,CD=CK=CG,CG⊥EH.
连接AH,显然四边形ABEH是平行四边形,
AB∥EH,而CD⊥AB,CG⊥EH,所以D,C,G在一条直线上
所以PQ+QR+RP=PQ+QV+VT≥DG=2CD.
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