如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、P分别是棱DD1、CD、AD的中点．（1）求证：平面MNP∥平面A1C1B．（2）将正方体沿平面A1C1B截出一个三棱锥B1-A1C1B，求次棱锥的体积与剩下的几何体

Question

如图，在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N、P分别是棱DD₁、CD、AD的中点．
（1）求证：平面MNP∥平面A₁C₁B．
（2）将正方体沿平面A₁C₁B截出一个三棱锥B₁-A₁C₁B，求次棱锥的体积与剩下的几何体体积的比．
（3）求直线B₁D与直线MN所成的角．

Answer 1

（1）证明：连接AC，∵AA₁∥CC₁，又AA₁=CC₁，
∴四边形ACC₁A₁为平行四边形，AC∥A₁C₁，AC⊄平面A₁C₁B，∴AC∥平面A₁C₁B，
又AC∥PN，∴PN∥平面A₁C₁B，
同理MN∥平面A₁C₁B，又MN∩PN=N，∴平面MNP∥平面A₁C₁B；
（2）VB1−A1C1B=(1)/(3)×(1)/(2)×a×a×a=(1)/(6)a³，
∴截去的三棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为1：5；
（3）连接DC₁，CD₁，∵B₁C₁⊥平面CDD₁C₁，∴DC₁为DB₁在平面CDD₁C₁内的射影，
∵DC₁⊥CD₁，又MN∥CD₁，由三垂线定理得：MN⊥DB₁，
即直线B₁D与直线MN所成的角为90°．