如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1CC1⊥侧面ABB1A1，侧面ABB1A1的面积为32，CA=CA1=AB=BB1=1，∠ABB1为锐角（1）求证：CB1⊥AA1；（2）求二面角C-BB1-A的大小．

Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁CC₁⊥侧面ABB₁A₁，侧面ABB₁A₁的面积为(√(3))/(2)，CA=CA₁=AB=BB₁=1，∠ABB₁为锐角
（1）求证：CB₁⊥AA₁；
（2）求二面角C-BB₁-A的大小．

Answer 1

（1）∵CA=CA₁=AB=BB₁=1，
∴ABB₁A₁，ABB₁A₁都是菱形，
∵面积=1×1×sinB=(√(3))/(2)，又∠ABB₁为锐角，
∴∠ABB₁=60°，
∴△ABB₁，△AB₁A₁，△CAA₁均为边长为1的等边三角形．        …（3分）
∵侧面AA₁CC₁⊥侧面ABB₁A₁，
设O为AA₁的中点，则CO⊥平面ABB₁A₁，
又OB₁⊥AA₁，
∴由三垂线定理可得CB₁⊥AA₁．　　　　　　　…（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，AA₁⊥平面CB₁O（如图），
∴BB₁⊥平面CB₁O，
∴∠CB₁O是二面角C-BB₁-A的平面角，…（9分）
∴tan∠CB₁O=(CO)/(OB1)=1，
∴二面角C-BB₁-A的大小为45°．             …（12分）