等腰三角形ABC，E为底边BC的中点，沿AE折叠，如图，将C折到点P的位置，使P-AE-C为120°，设点P在面ABE上的射影为H．（1）证明：点H为EB的中点；（2））若AB=AC=22，AB⊥AC，求直线BE与平面ABP所

Question

等腰三角形ABC，E为底边BC的中点，沿AE折叠，如图，将C折到点P的位置，使P-AE-C为120°，设点P在面ABE上的射影为H．

（1）证明：点H为EB的中点；
（2）） 若AB=AC=2√(2)，AB⊥AC，求直线BE与平面ABP所成角的正弦值．

Answer 1

（1）证明：依题意，AE⊥BC，则AE⊥EB，AE⊥EP，EB∩EP=E．
∴AE⊥面EPB．
故∠CEP为二面角C-AE-P的平面角，则点P在面ABE上的射影H在EB上．
由∠CEP=120°得∠PEB=60°．…（3分）
∴EH=(1)/(2)EP=(1)/(2)EB．
∴H为EB的中点．…（6分）
（2） 过H作HM⊥AB于M，连PM，过H作HN⊥PM于N，连BN，
则有三垂线定理得AB⊥面PHM．即面PHM⊥面PAB，
∴HN⊥面PAB．故HB在面PAB上的射影为NB．
∴∠HBN为直线BE与面ABP所成的角．…（9分）
依题意，BE=(1)/(2)BC=2，BH=(1)/(2)BE=1．
在△HMB中，HM=(√(2))/(2)，
在△EPB中，PH=√(3)，
∴在Rt△PHM中，HN=(√(21))/(7)．
∴sin∠HBN=(√(21))/(7)．…（12分）